Så funkar exponentiell tillväxt

På ett schackbräde med 64 rutor läggs i den första rutan ett riskorn. I den andra rutan läggs två riskorn, i den tredje rutan fyra riskorn och i den fjärde rutan åtta riskorn. Om vi fortsätter i samma takt, hur många riskorn kommer då att ligga på den sista rutan?

Svaret är svindlande: 9 223 372 036 854 775 808 stycken, drygt nio triljoner.

Exemplet ovan är ett vanligt sätt att illustrera det som kallas exponentiell tillväxt. Begreppet används ofta slarvigt för att beskriva en väldigt kraftig ökning av något, men vad betyder det egentligen? Låt oss titta närmare.

Den matematiska beskrivningen av exemplet med schackbrädet ges av ekvationen y = 2x, som ser ut på följande vis:

Här kan du öppna grafritaren och titta närmare

Variabeln y står för det antal riskorn som ligger på schackrutan x. På den första schackrutan är x = 0 och antalet riskorn y = 1, på den andra schackrutan är x = 1 och antalet riskorn y = 2 och så vidare.

Talet 2 i ekvationen y = 2x kallas för basen och avgör helt enkelt hur kraftig ökningen blir – för varje ny schackruta dubblas antalet riskorn.

Så vad händer om vi väljer en annan, lägre bas? Låt oss testa med 1,75 istället. När vi når den sista schackrutan kommer vi där ha cirka 2 048 316 517 960 230 riskorn, drygt två biljarder. Fortfarande ett väldigt högt tal, men ändå bara 0,2 promille av det antal som låg på sista schackrutan när basen var 2.

Vi gör samma sak igen, men med basen 1,5. Antalet riskorn på sista rutan blir då 124 093 581 920, drygt 124 miljarder. Plötsligt ett tal som är greppbart. Det är förvisso många riskorn, men ändå oerhört mycket färre än de två tidigare exemplen.

Här kan du öppna grafritaren och titta närmare. Den röda grafen är 2x, den blå är 1,75x och den gröna är 1,5x. Vänligen notera att y-axeln har en annan skala än tidigare exempel.

Det stämmer att exponentiell tillväxt, sett över tid, är väldigt kraftfullt. Men valet av bas har en avgörande inverkan på hur utvecklingen kommer att se ut. En till synes liten förändring av basen får gigantiska följdverkningar.

Det är också så att en matematisk exponentialfunktion fortsätter i oändligheten, medan verkligheten ofta sätter gränser för hur länge förloppet kan pågå. Antalet riskorn på jorden är inte oändligt, och antalet personer som kan smittas med ett virus är inte heller obegränsat. Med tiden kommer därför kurvan att plana ut, ett förlopp som kan beskrivas med en såkallad logistisk funktion. Den kännetecknas av sin S-liknande form och en godtycklig sådan funktion kan se ut så här:

Här kan du öppna grafritaren och titta närmare

På senare tid har exponentiell utveckling kommit att diskuteras i relation till spridningen av coronaviruset. Riskerna med en exponentiell ökning av antal smittade är uppenbara, men det är viktigt att komma ihåg att utvecklingen går att påverka. Basen är inte huggen i sten. Genom restriktioner, rekommendationer och råd kan myndigheter och enskilda påverka hur snabbt viruset sprids.